AI ने 80 साल पुरानी गणित पहेली सुलझाई: यह गणित से परे क्यों मायने रखता है

करीब अस्सी साल तक गणितज्ञ एक प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या से जूझते रहे, जिसे सबसे पहले 1946 में हंगरी के गणितज्ञ Paul Erdos ने रखा था। मई 2026 में एक आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस (AI) मॉडल ने वह कर दिखाया जो इंसान नहीं कर सके, और इस पर एक वास्तविक सफलता हासिल की। इस चुनौती को planar unit distance समस्या कहते हैं, और यह 'Erdos problems' नाम से जाने जाने वाली पहेलियों के एक बड़े संग्रह का हिस्सा है। गणितज्ञ इस नए परिणाम को एक मील का पत्थर मानते हैं, क्योंकि उनके अनुसार अगर इसे किसी मानव ने तैयार किया होता, तो यह किसी शीर्ष गणित जर्नल में प्रकाशन के योग्य होता — एक ऐसा स्तर जिस तक पहले का कोई AI-निर्मित प्रमाण नहीं पहुँचा था।

समस्या सुनने में सरल लगती है। एक कागज़ का पन्ना लीजिए और उस पर बिंदु रखिए। जैसे-जैसे आप और अधिक बिंदु जोड़ते हैं, चाहे लाखों या खरबों तक, आप उन्हें कैसे व्यवस्थित करें ताकि बिंदुओं के ऐसे जोड़ों की संख्या अधिकतम हो जो आपस में बिल्कुल समान दूरी पर हों? Erdos ने अनुमान लगाया था कि सबसे अच्छी व्यवस्था एक square grid के करीब कुछ होगी। दशकों तक गणितज्ञ इसे सच मानते रहे पर साबित नहीं कर सके। AI मॉडल ने पुराने अनुमान को साबित करने के बजाय कुछ और चौंकाने वाला किया: इसने उसे गलत साबित कर दिया। इसने व्यवस्थाओं का एक बिल्कुल नया परिवार खोजा जो square grid से बेहतर है और समान-दूरी वाले अधिक जोड़े देता है। इस नए पैटर्न की कल्पना करना भी मुश्किल है, और इसे गणित की अलग-अलग शाखाओं के विचारों को जोड़कर बनाया गया।

यह परिणाम पहले के संदिग्ध AI दावों से क्यों अलग है, यह इस पर निर्भर करता है कि मॉडल इस तक पहुँचा कैसे। अतीत में, AI द्वारा गणित 'सुलझाने' की कुछ घोषणाएँ असल में ऐसे मामले निकलीं जहाँ सिस्टम ने बस वे जवाब खोजे जो पहले से प्रकाशित शोधपत्रों में मौजूद थे, जिन्हें विशेषज्ञों ने भ्रामक बताकर खारिज कर दिया। इस बार, जिन गणितज्ञों ने जाँच की उनके अनुसार, AI ने अकादमिक शोधपत्र पढ़े, उन्हें इतनी अच्छी तरह समझा कि उनके तरीकों को नए ढंग से लागू कर सके, और ऐसे क्षेत्रों को जोड़ा जिन्हें विशेषज्ञों ने पहले नहीं जोड़ा था — जैसे discrete geometry के एक सवाल को हल करने के लिए algebraic number theory के उपकरण इस्तेमाल करना। नौ गणितज्ञों ने परिणाम की पुष्टि की। लगभग उसी समय, एक अन्य AI शोध प्रयोगशाला ने कहा कि उसके अपने सिस्टम ने भी कई Erdos समस्याएँ सुलझाई हैं, जिससे लगता है कि यह एक व्यापक लहर का हिस्सा है।

गणित AI के लिए एक परीक्षा के रूप में इतना मायने क्यों रखता है? रचनात्मक लेखन के उलट, जहाँ लोग गुणवत्ता पर अंतहीन बहस कर सकते हैं, एक गणितीय प्रमाण या तो सही होता है या गलत, और जो भी उसे समझता है वह सहमत हो सकता है। इससे गणित यह मापने का एक साफ, ईमानदार पैमाना बन जाता है कि कोई AI सचमुच तर्क कर रहा है या सिर्फ अनुमान लगा रहा या नकल कर रहा है। AI सिस्टमों का मानव विशेषज्ञों पर एक फायदा भी है: मनुष्य आमतौर पर किसी एक क्षेत्र को गहराई से जानते हैं, जबकि AI इन धारणाओं में कम फँसता है कि कौन-से क्षेत्र स्वाभाविक रूप से जुड़ते हैं, इसलिए वह ज्ञान के दूर-दूर के क्षेत्रों के बीच उपयोगी संबंध पहचान सकता है और बिना थके समाधान खोज सकता है।

फिर भी, विशेषज्ञ सावधानी और संतुलन की सलाह देते हैं। वही बड़े भाषा मॉडल जो एक प्रयास में किसी गहरी समस्या को सुलझा देते हैं, दूसरे में साधारण अंकगणित में विफल हो सकते हैं, और वे अब भी आत्मविश्वास से भरे पर गलत जवाब देते हैं, जिसे hallucination कहते हैं। मानवीय जाँच ज़रूरी बनी रहती है। एक प्रयोगशाला ने आउटपुट को सत्यापित और सरल बनाने के लिए मानव गणितज्ञों पर भरोसा किया, जबकि दूसरी ने अपने AI को औपचारिक प्रमाण-जाँच सॉफ्टवेयर (जैसे Lean नामक सिस्टम) से जोड़ा, जो किसी प्रमाण की पंक्ति-दर-पंक्ति पुष्टि कर सकता है। शोधकर्ता कहते हैं कि इसका गहरा महत्व भविष्य में है: अगर AI गणित के शोधपत्र पढ़ और आगे बढ़ा सकता है, तो वह एक दिन जीवविज्ञान, भौतिकी, चिकित्सा और इंजीनियरिंग में भी यही कर सकता है। अभ्यर्थियों के लिए मुख्य बातें हैं — AI द्वारा मौलिक शोध करने का विचार, मानवीय सत्यापन की लगातार ज़रूरत, एक सीमा के रूप में hallucination का बने रहना, और भारतीय संस्थानों की भूमिका, क्योंकि इस सफलता का आकलन करने वाले विशेषज्ञों में IIT Delhi के एक प्रोफेसर भी शामिल थे।